Логические задачки

[Avada Kedavra]

Ты как всегда прав, дружище! Но, учитывая его рост - 1 м.80 см., может метра полтора легко выгадать и ежели вдруг веревки чутка гд-нить не хватит на неск. см., то все обойдется без падения...
Эспешли фою (вдруг не знаешь):
Случилось так, что корабль потерпел крушение и 10 матросов были выброшены на остров.
Несчастные, однако, людьми были тертыми и, оправившись, занялись заготовкой пищи. Жратвы было не густо. Под руками росло, правда, много пальм с кокосами. Матросы нарвали целую кучу орехов, причем так, чтоб никого не обидеть, и каждому досталось бы орехов поровну. Однако прежде чем делить, они решили выспаться. Умаялись.
Пока спали из глубин острова прибежала обезьяна и похитила 1 орех. Однако тут проснулся 1 из матросов и обезьяна из любопытства далеко решила не убегать, а посмотреть че будет. Проснувшийся матрос испытывал жуткий голод и решил перекусить. В конце концов, чего ждать-то? Свою часть мжно взять прямо сейчас, решил он. Однако, разложив орехи по 10 кучкам он вдруг понял, что 1 ореха не хватает, и, увидев обезъяну с украденым орехом, решил его отобрать. В процессе борьбы обезьяна этого матроса тюкнула орехом по башне и морячку пришел кирдык.
Обезьяна уже хотела отчалить, но тут проснулся еще один матрос. Он был также голоден как и первый и также решил все поделить и взять свою долю сразу. Пока шел к пирамиде орехов, он обнаружил труп первого морячка и обрадовался! Теперь ему достанется больше орехов!! Матрос разложил орехи на 9 кучек и обнаружил, что кучки были бы равны, но 9-ой для этого не хватает 1 ореха. Тут он обнаружил любопытствующую обезьяну со слегонца окровавленным орехом в лапах. Поняв что тут произошло, он воспылал праведным гневом и набросился на животное с целью отобрать орех и отмстить, черт побери, за гибель товарища! Обезьяна, правда, уже была закалена в бою и второй морячок был убит ею также быстро и ловко, как и первый. Может быть даже быстрее. Войдя во вкус, обезьяна решила подождать что будет дальше.
Моряки просыпались один за одним, делили орехи, понимали, что равноправие восторжествовало бы, но в последней кучке почему-то не хватает 1 ореха для всеобщего счастья, потом замечали обезьяну, набрасывались на монстра и гибли как мухи. Тотал массакр вобщем. По отдыхает.
В конце концов, обезьяне это развлечение наскучило и она смылась, а последний оставшийся в живых матрос заграбастал все орехи.
Вопрос: Какое минимальное количество орехов надо было бы нарвать морячкам, чтобы эта история звучала бы правдоподобно если не с биологической, то с математической точки зрения?

[Ushwood]

(вдруг не знаешь)

Неа, этой не знаю

Какое минимальное количество орехов надо было бы нарвать морячкам, чтобы эта история звучала бы правдоподобно если не с биологической, то с математической точки зрения?

С математической - я бы сказал, 0 орехов (а после кражи становится -1 орех ).

(знаешь байку про Дирака и -2 рыбы?)

Ну а если серьезно... нужно найти наименьшее натуральное число, без остатка делящееся на 5, 7, 8 и 9. Это число, очевидно, 5*7*8*9=2520.

[Avada Kedavra]

Гы, ну тут жеж натуральные числа по условию...
Байку расскажи, решение верное, на еще:
.
У Джона Блэка проблема! Из-за поганой погоды (вроде нонешней в первопрестольной) двор его дома покрылся хоршим таким слоем льда. Пока проблемы были только у тещи (вывихнула ногу, подскользнувшись), да у жены (вывихнула челюсть, обругавшись), Джон стойко терпел. Но когда друзья Джона Том и Пит расколотили бутыль с виски, которую они перли к Джону на посиделки, Джон не выдержал и решительно объявил войну гололедице.
В качестве оружия возмездия был выбран лом. Однако, такового в хозяйстве не нашлось, а круиз по ближайшим лабазинам заставил признать сей предмет остродефицитным товаром. Безрезультатно прочесав родной городишко, мистеру Блэку пришлось устроить набег на райцентр, где и был в итоге приобретен прекрасный лом длиной в 5 футов. Лом упаковали в чудесную розовую упаковочную бумагу, украсили ленточками и довольный Джон попытался влезть с ним в междугородний автобус. Тут у него случился обломс. Не пустили его того... в автобус. Оказывается в междугородних автобусах запрещено провозить предметы длиной более чем 4 фута.
Расстроенный Джон был практически в шоке от того, что ему наклевывался моцион домой с тяжеленной палкой в руках и пошел возвращать предмет в лабазин. Владелец магазина, однако, узнав в чем проблема, пообещал ее решить. Розовая бумажка с ленточками была сорвана и лом аккуратно переупаковали. И, о чудо! Джона пустили в автобус с этим самым переупакованным ломом! Причем не потому что где-то-кто-то-кое-где-у-нас-порой, а потому что правило о провозе длинномеров не было нарушено. Джон не верил собственному счастию, ибо плохо учился в школе, в отличие от владельца лабазина. Ну и вас, т.к. вы конечно же подскажете как была решена эта задачка?

[Lady Astrel]

Avada Kedavra, может, его положили в плоскую коробку, размерами 3х4 фута?

[Ushwood]

Байку расскажи

На какой-то физической конференции, на ее неофициальной части дали участникам такую задачку.
Три рыбака пошли вместе ловить рыбу. Закончили лов поздно и, не пересчитав добычу, легли спать. На следующее утро один из рыбаков проснулся и решил взять треть улова и уехать домой, не будя товарищей. Пересчитав рыбу, он обнаружил, что ее количество на три не делится - одна лишняя. Недолго думая, он одну рыбину выбросил в воду, взял треть оставшейся и уехал. Потом проснулся второй. Он не заметил, что первый уже уехал, но в голову ему пришла та же мысль. Он пересчитал рыбу, опять одна была лишняя, ее он выкинул, взял треть оставшейся и уехал. Проснулся последний рыбак. Не заметив, что он остался один, он пересчитал рыбу, одну выкинул, взял треть оставшейся и уехал. Вопрос: какое наименьшее число рыб было поймано?
Первым ответ дал присутствовавший на конференции Дирак. Он сказал, что было поймано -2 рыбы. Когда первый рыбак одну выкинул, их стало -2-1=-3, потом он взял 1/3, т.е. -1 рыбу, и рыб осталось -3-(-1)=-2. Второй и третий рыбаки повторили то же самое .

[Avada Kedavra]

Леди, правильно! )
Ашвуд, нестандартно...
.
Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

[Ushwood]

Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

С ходу, особо не думая - 44 раза. Каждый час два раза, за исключением временных интервалов 2-4 часа, 8-10, 14-16 и 20-22, в эти временные интервалы всего по три раза.

[Ushwood]

У Пети сломалась табуретка - треснули вдоль все четыре ножки. Петя решил починить табуретку, скрепив ножки болтами. Однако своих болтов у него не было, и он пошел за ними к соседу Васе.
Вася дал Пете коробку. В коробке лежали болты, на некоторые из которых были навинчены гайки. Петя отобрал несколько болтов без гаек и столько же болтов с гайками.
Придя домой, Петя в каждую из четырех ножек вкрутил одинаковое количество болтов и каждый болт закрепил гайкой. После этого у него осталось в 2.5 раза больше болтов, чем гаек.
Вопрос: какое наименьшее число болтов и гаек Петя мог взять у Васи?

Примечание: табуретка стандартной конструкции .

[Ushwood]

И еще одна, пока вы над предыдущей думаете.

Бог и Дьявол играют в игру "Лабиринт".
Дьявол берёт шахматную доску и между некоторыми соседними (по горизонтали или вертикали) клетками ставит перегородку. Получается лабиринт 8x8. После этого Дьявол ставит на одно из полей пешку.
Бог пишет программу для пешки. Программа - конечный набор команд "влево", "вправо", "вверх" или "вниз". Пешка будет выполнять эту программу, сдвигаясь на одну клетку в указанном направлении. Если пешка при движении натыкается на перегородку или край доски, то команда пропускается и пешка выполняет следующую команду.
Бог выигрывает, если выполняя написанную им программу пешка обойдёт все доступные поля доски. В противном случае выигрывает Дьявол.
Хитрость игры в том, что когда Бог пишет программу он ещё не знает, какой лабиринт соорудил Дьявол, а Дьявол, сооружая лабиринт не знает, какую программу написал Бог. Только когда оба игрока закончат подготовку они сверяют результаты и начинают двигать пешку.
Может ли один из них гарантированно победить?

[Ushwood]

На случай неправильного понимания второй задачи. Дьявол ставит ОДНУ перегородку. Перед богом, в общем-то, не очень сложная задача .

ЗЫ. Когда я решил задачу в этом варианте, мне дали второй, общий случай - с произвольным числом перегородок. Этот случай я сам пока не решил, потому здесь не даю.

[Ushwood]

Уже скоро месяц как задачки висят. Ответы не пора давать?

[dmart]

У Пети сломалась табуретка - треснули вдоль все четыре ножки. Петя решил починить табуретку, скрепив ножки болтами. Однако своих болтов у него не было, и он пошел за ними к соседу Васе.
Вася дал Пете коробку. В коробке лежали болты, на некоторые из которых были навинчены гайки. Петя отобрал несколько болтов без гаек и столько же болтов с гайками.
Придя домой, Петя в каждую из четырех ножек вкрутил одинаковое количество болтов и каждый болт закрепил гайкой. После этого у него осталось в 2.5 раза больше болтов, чем гаек.
Вопрос: какое наименьшее число болтов и гаек Петя мог взять у Васи?

Примечание: табуретка стандартной конструкции .

Давно же не удавалось на форум зайти...
Пусть было взято g болтов без гаек и столько же болтов с гайками. И пусть на каждую ногу было израсходовано n болтов с гайками. После этого должно остаться 2*g-4*n болтов и g-4*n гаек. Из уравнения 2*g-4*n=2.5*(g-4*n) сразу получается g=12*n. В предположении, что табуретку удалось починить (n>0), наименьшее возможное число g равно 12. Всего было 24 болта и 12 гаек, на ремонт ушло 4 болта и 4 гайки, осталось 20 болтов, что ровно в 2.5 раза больше, чем 8 гаек.
По альпинисту - ответ знаю, поэтому молчу.
По лабиринту - пока очевидно, что у Дьявола нет выигрышной стратегии при любом количестве перегородок. Если лабиринт в принципе проходим, Бог может пройти его хотя бы чисто случайно.

[dmart]

По лабиринту для случая единственной перегородки. Скорее всего, предлагаемая стратегия не самая оптимальная, но тем не менее, выигрышная.
Пусть начальное положение пешки - a1.
Этап 1.
(7 раз вправо, вверх, 7 раз влево, вверх)*5 раз. Если перегородка была горизонтальной - цель достигнута. Если перегородка вертикальная - пешка находится в верхнем ряду, но неизвестно, в углу или у перегородки. "Затененная" перегородкой часть ряда, и, возможно, примыкающие к ней клетки не пройдены.
Этап 2.
(7 раз вниз, вправо, 7 раз вверх, вправо)*5 раз. Вертикальная перегородка на сей раз нам не помеха. Пройдены все клетки, которые не левее конечной позиции пешки после этапа 1.
Этап 3.
(7 раз вниз, влево, 7 раз вверх, влево)*5 раз. Пройдены все оставшиеся клетки.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 14 секунд:

Андрей, Борис, Кирилл и Дмитрий влюблены в девушек которые тоже влюблены в них. Получилось так, что ни один из парней не добился взаимной любви. Каждый из парней любит только одну девушку, а каждая из девушек только одного парня. И парни и девушки все кем-то любимы.
Андрей любит девушку, которая влюблена в юношу любящего Таню. В Машу влюблен юноша, которого любит девушка, любимая Борисом. Кирилл влюблен в девушку, которая любит Диму. Если Бориса не любит Зина, а юноша, которого любит Галя, не любит Зину, то кто любит Андрея?

Сводим вышесказанное в табличку:
А -> ? -> ? -> Т
Б -> ? -> ? -> М
К -> ? -> Д -> Г или З
Д -> ? -> ? -> З или Г
При этом левая и правая половины таблички должны совпадать с точностью до перестановки строк.
Рассмотрим вариант, который слева от "или".
А -> ? -> ? -> Т
Б -> ? -> ? -> М
К -> ? -> Д -> Г
Д -> Г -> ? -> З
- сразу получаем противоречие с условием "юноша, которого любит Галя, не любит Зину". Остается второй вариант.
А -> ? -> ? -> Т
Б -> ? -> ? -> М
К -> не Г -> Д -> З
Д -> З -> не Б -> Г
Очевидно, что этим самым "не Б" может быть только А, а значит, Андрея любит Зина.
Условие "ни один из парней не добился взаимной любви" осталось невостребованным. Можно было бы сделать задачу более оптимистичной и предложить выяснить, у кого при таком раскладе взаимная любовь могла получиться (у Бориса с Машей).

[Ushwood]

Всего было 24 болта и 12 гаек

Ответ неправильный Точнее, не минимально возможный.

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

Пусть начальное положение пешки - a1.
Этап 1.
(7 раз вправо, вверх, 7 раз влево, вверх)*5 раз. Если перегородка была горизонтальной - цель достигнута. Если перегородка вертикальная - пешка находится в верхнем ряду, но неизвестно, в углу или у перегородки. "Затененная" перегородкой часть ряда, и, возможно, примыкающие к ней клетки не пройдены.
Этап 2.
(7 раз вниз, вправо, 7 раз вверх, вправо)*5 раз. Вертикальная перегородка на сей раз нам не помеха. Пройдены все клетки, которые не левее конечной позиции пешки после этапа 1.
Этап 3.
(7 раз вниз, влево, 7 раз вверх, влево)*5 раз. Пройдены все оставшиеся клетки.

Хм, а если начальное положение пешки НЕ а1?

Добавлено спустя 4 минуты 9 секунд:
К примеру, если пешка изначально на 8 горизонтали, а перегородка, скажем, между h4 и h5, то этот алгоритм не даст выигрыша.

[dmart]

Всего было 24 болта и 12 гаек

Ответ неправильный Точнее, не минимально возможный.

Тогда, при n=0, табуретка осталась непочиненной, а это не вполне отвечает условию задачи.

Хм, а если начальное положение пешки НЕ а1?

Если первоначальное положение пешки неизвестно, то потребуется этап 0.
(вниз, влево)*8 раз загонит пешку либо на a1, либо в угол, образованный краем доски и перегородкой. (вверх, влево, вниз, вправо, вниз, влево) выведет пешку из такого угла. После повторного (вниз, влево)*7 раз пешка с гарантией окажется на a1.

[Ushwood]

Тогда, при n=0, табуретка осталась непочиненной, а это не вполне отвечает условию задачи.

Нет, табуретку он починил.

Ты здесь уже видел достаточное количество моих задачек, мог бы уже привыкнуть: если задачка кажется элементарной, значит, где-то там подвох . Иначе я просто не стал бы давать такую задачку.
Внимательнее перечитай условие .

Да, решение с пешкой теперь правильное, хотя ОЧЕНЬ неэффективное.
Вот более эффективное решение:
1) вверх-7влево-7вниз-7влево-вправо-7вниз-влево - гарантированно доставляет пешку на поле а1
2) 7вправо-вверх-7влево-вверх-7вправо-вверх-7влево-вверх-7вправо-вверх-7влево-вверх-7вправо-вверх-7влево-вверх-7вправо - гарантированно доставляет пешку на поле h8 и обеспечивает выигрыш при любом горизонтальном расположении перегородки
3) 7вниз-влево-7вверх-влево-7вниз-влево-7вверх-влево-7вниз-влево-7вверх-влево-7вниз-влево-7вверх-влево-7вниз - обеспечивает выигрыш при любом вертикальном расположении перегородки.

Обрати внимание: ты предлагал на "этапе 1" 10 горизонтальных проходов, а куда лучше 9. Именно благодаря этому я точно знаю, на каком поле пешка окажется в результате.

[dmart]

Ты здесь уже видел достаточное количество моих задачек, мог бы уже привыкнуть: если задачка кажется элементарной, значит, где-то там подвох . Иначе я просто не стал бы давать такую задачку.
Внимательнее перечитай условие .

Нигде не сказано, что на болтах с гайками было накручено ровно по одной гайке. Если это учесть, то можно взять 7 болтов без гаек, 6 болтов с одной гайкой и 1 болт с двумя гайками. После израсходования 4 болтов и 4 гаек остается 10 болтов и 4 гайки. Меньше уже никак.

[Ushwood]

Если это учесть, то можно взять 7 болтов без гаек, 6 болтов с одной гайкой и 1 болт с двумя гайками. После израсходования 4 болтов и 4 гаек остается 10 болтов и 4 гайки. Меньше уже никак.

Вот теперь правильно .

[dmart]

Ushwood, можно меньше! Берется 2 болта без гаек и 2 болта с 2 гайками на каждом. После использования 4 болтов и 4 гаек остается 0 болтов и 0 гаек, что удовлетворяет не только условию задачи, но и здравому смыслу Пети.

[Ushwood]

dmart, научи еще Петю делить 0 на 0

[dmart]

Ushwood, согласен. Хотя 0*2.5=0, можно только с большой натяжкой утверждать, что один ноль в 2.5 раза больше другого.

[dmart]

Дано: треугольник ABC. На его сторонах как на основаниях, с внешней стороны, построены равнобедренные треугольники AKB, BLC, CMA с углом при основании 30 градусов.
Требуется доказать, что каким бы ни был исходный треугольник ABC, треугольник KLM получится равносторонним.
Понятно, что против лома нет приема, и координатным методом задача раздалбывается. А сможет ли кто-нибудь придумать чисто геометрическое доказательство?

[Ushwood]

Можно ли считать тригонометрический метод "чисто геометрическим"? Потому как теорема косинусов рулит.

Обзовем стороны треугольника: BC=a, AC=b, AB=c. По теореме косинусов cos(BAC)=(b^2+c^2-a^2)/2bc. С учетом того, что угол KAM равен углу BAC плюс 60 градусов, cos(KAM)=1/2*cos(BAC)-sqrt(3)/2*sin(BAC).
Стороны AK и АМ легко найти, они равны соответственно c/sqrt(3) и b/sqrt(3).
Применяя теорему косинусов к треугольнику КАМ, получим: KM^2=1/3*b^2+1/3*c^2-2/3*b*c*(1/2*cos(BAC)-sqrt(3)/2*sin(BAC)). После подстановки косинуса и синуса угла BAC и тривиальных упрощений получаем: KM^2=1/3*[1/2*(a^2+b^2+c^2)-sqrt(3*(2*a^2*b^2+2a^2*c^2+2b^2*c^2-a^4-b^4-c^4))]. главное в этом крокодиле то, что он абсолютно симметричен относительно a, b и c - а значит, и остальные две стооны треугольника KLM такие же.

Подозреваю, что это не самое простое решение...

[dmart]

Ushwood, принимается. Мне раньше решение с помощью теоремы косинусов показалось некрасивым, потому что я для упрощения выкладок положил одну из сторон равной единице и в результате упустил симметричность "крокодила" относительно a,b и с.

[Ushwood]

Небольшой прикол

Найти лишнюю фигуру: